Степени двойки
Это понятие впервые встречается на программе «Инженерия и системный подход к решению задач» — примерно 11-12 лет (5-6 класс).
Числа-удвоения: 2, 4, 8, 16, 32, 64… Каждое следующее вдвое больше предыдущего, поэтому растут они стремительно.
Складывание листа пополам: один сгиб — 2 слоя, два сгиба — 4, десять сгибов — уже 1024 слоя.
Продолжить ряд 2, 4, 8… до 1024 вслух; проверить себя удвоением на калькуляторе.
2ⁿ — произведение n двоек: 2⁸ = 256, 2¹⁰ = 1024. Электроника различает два состояния, поэтому «круглые» числа техники — степени двойки: байт хранит 256 разных значений, n двоичных разрядов дают 2ⁿ комбинаций, а «компьютерная тысяча» — это 1024.
Посчитать 2¹⁰ столбиком удвоений; найти степени двойки на технике вокруг: значения байта, объёмы флешек и карт памяти.
Геометрическая прогрессия со знаменателем 2; обратная операция — двоичный логарифм: log₂ 1024 = 10. Быстрые оценки: 2¹⁰ ≈ 10³, значит 2²⁰ — около миллиона, 2³² ≈ 4,3 млрд (столько адресов в IPv4). Деление задачи пополам сводит миллион вариантов к ~20 шагам — на этом стоит двоичный поиск.
Оценить без калькулятора число шагов деления пополам для словаря на 1000 и на 1 000 000 слов; проверить игрой «угадай число до 1000 за 10 вопросов».
Частое заблуждение
«2⁵ — это 2 умножить на 5, то есть 10». Нет: степень — повторное умножение: 2⁵ = 2·2·2·2·2 = 32; с каждым шагом число удваивается, а не прирастает на двойку.