Логарифм
Это понятие впервые встречается на программе «Разработка и инженерия для старшеклассников» — примерно 15-17 лет (9-11 класс).
Считает «ступени умножения»: тысяча — это трижды по 10 (10·10·10), поэтому логарифм 1000 по основанию 10 равен 3.
Этажи вместо метров: логарифм называет «этаж» числа. 100 и 1000 стоят на соседних этажах, хотя различаются в 10 раз.
Назвать «этаж» (логарифм по основанию 10) чисел 10, 1000 и 1 000 000, продолжая ряд умножений на 10.
log_a b — показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить b: log₂ 32 = 5, lg 1000 = 3. Операция, обратная возведению в степень. Нужен там, где важно «во сколько раз», а не «на сколько»: например, громкость в децибелах — логарифмическая шкала.
По ряду степеней двойки заполнить таблицу log₂ для 2, 8, 64 и 1024; сказать, чему равен lg 10 000.
log_a b = x ⇔ aˣ = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0). Главное свойство: log(x·y) = log x + log y — превращает умножение в сложение. Основания: 2 — информатика, e — ln, 10 — lg; переход: log_a b = ln b / ln a. Растёт очень медленно: log₂ 10⁹ ≈ 30, поэтому алгоритмы сложности O(log n) почти не замечают роста данных. Для нуля и отрицательных чисел не определён.
Посчитать через lg 2 ≈ 0,301, сколько цифр в числе 2¹⁰⁰ (⌊100 · 0,301⌋ + 1 = 31); проверить в Python: len(str(2**100)).
Частое заблуждение
«Логарифм — новая сложная операция». Нет: это знакомая степень, прочитанная наоборот: не «сколько будет 2⁵?», а «в какой степени 2 даёт 32?». Ответ — 5.